Gọi x1, x2 là 2 nghiệm của phương trình \(2x^2+3mx-\sqrt{2}=0\)(m là tham số). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\left(x_1-x_2\right)^2+\left(\frac{1+\left(x_1\right)^2}{x_1}+\frac{1+\left(x_2\right)^2}{x_2}\right)^2\)là...
Cho phương trình: \(2x^2+3mx-\sqrt{2}=0\). Có hai nghiệmìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
\(M=\left(x_1-x_2\right)^2+\left(\frac{1+x_1^2}{x_1}-\frac{1+x_2^2}{x_2}\right)\)
\(2x^2+3mx-\sqrt{2}=0\)
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt <=> \(\Delta=\left(3m\right)^2-4\cdot2\cdot\left(\sqrt{2}\right)>0\)
<=> \(9m^2+3\sqrt{2}>0\)(luôn đúng)
=> PT có 2 nghiệm phân biệt x1;x2 với mọi m \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=\frac{-3m}{2}\\x_1x_2=\frac{-\sqrt{2}}{2}\end{cases}}\)
\(M=\left(x_1-x_2\right)^2+\left(\frac{1+x_1^2}{x_1}-\frac{1+x_2^2}{x_2}\right)\)
\(=x_1^2+x_2^2-2x_1x_2+\left[\frac{x_2\left(1+x_1^2\right)-x_1\left(1+x_2^2\right)}{x_1x_2}\right]^2\)
\(=\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2+\frac{\left(x_2+x_1+x_1^2x_2-x_1x_2^2\right)^2}{\left(x_1x_2\right)^2}\)
\(=\left(\frac{-3m}{2}\right)^2-4\cdot\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)+\frac{\left(x_2-x_1\right)^2\cdot\left(1+x_1x_2\right)^2}{\left(x_1x_2\right)^2}\)
\(=\frac{9m^2}{4}+2\sqrt{2}+\frac{\left(\frac{9m^2}{4}+2\sqrt{2}\right)\left(1+\frac{-\sqrt{2}}{2}\right)^2}{\left(\frac{-\sqrt{2}}{2}\right)^2}\)
\(=\frac{9m^2}{4}+2\sqrt{2}+\left(\frac{9m^2}{4}+2\sqrt{2}\right)\left(3-2\sqrt{2}\right)\)
\(=\frac{9m^2}{4}\left(4-2\sqrt{2}\right)+2\sqrt{2}\left(4-2\sqrt{2}\right)\ge2\sqrt{2}\left(4-2\sqrt{2}\right)\ge8\sqrt{2}-8\)
Dấu "=" xảy ra <=> m=0
Em xem lại dòng thứ 3 sau khi M = nhé Linh !
Dòng thứ 3 phải sửa là:
\(M=\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2+\frac{\left(x_2-x_1+x_1^2x_2-x_1x_2^2\right)^2}{\left(x_1x_2\right)^2}\)
Đúng không ạ?!
Cho phương trình: \(2x^2+3mx-\sqrt{2}=0\) (m là tham số) có hai nghiệm \(x_1\)và \(x_2\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(M=\left(x_1-x_2\right)^2+\left(\frac{1+x_1^2}{x_1}-\frac{1+x_2^2}{x_2}\right)^2\).
\(ac< 0\Rightarrow\) phương trình luôn có 2 nghiệm với mọi m
Theo Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\frac{3m}{2}\\x_1x_2=-\frac{\sqrt{2}}{2}\end{matrix}\right.\)
\(M=\left(x_1-x_2\right)^2+\left(x_1-x_2-\frac{x_1-x_2}{x_1x_2}\right)^2\)
\(=\left(x_1-x_2\right)^2+\left(x_1-x_2\right)^2\left(1-\frac{1}{x_1x_2}\right)^2\)
\(=\left(x_1-x_2\right)^2+\left(3+2\sqrt{2}\right)\left(x_1-x_2\right)^2\)
\(=\left(4+2\sqrt{2}\right)\left(x_1-x_2\right)^2\)
\(\Rightarrow\frac{M}{4+2\sqrt{2}}=\left(x_1-x_2\right)^2=\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2\)
\(=\frac{9m^2}{4}+2\sqrt{2}\ge2\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow M\ge2\sqrt{2}\left(4+2\sqrt{2}\right)=8+8\sqrt{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(m=0\)
Gọi \(x_1;x_2\) là hai nghiệm của phương trình \(2012x^2-\left(20a-11\right)x-2012=0\) (a là số thực). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\dfrac{3}{2}\left(x_1-x_2\right)^2+2\left(\dfrac{x_1-x_2}{2}+\dfrac{1}{x_1}-\dfrac{1}{x_2}\right)^2\)
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{20a-11}{2012}\\x_1x_2=-1\end{matrix}\right.\)
\(P=\dfrac{3}{2}\left(x_1-x_2\right)^2+2\left(\dfrac{x_1-x_2}{2}-\dfrac{x_1-x_2}{x_1x_2}\right)^2\)
\(=\dfrac{3}{2}\left(x_1-x_2\right)^2+2\left(x_1-x_2\right)^2\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{x_1x_2}\right)^2\)
\(=\dfrac{3}{2}\left(x_1-x_2\right)^2+2\left(x_1-x_2\right)^2\left(\dfrac{1}{2}+1\right)^2\)
\(=6\left(x_1-x_2\right)^2=6\left(x_1+x_2\right)^2-24x_1x_2\)
\(=6\left(\dfrac{20a-11}{2012}\right)^2+24\ge24\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=\dfrac{11}{20}\)
gọi \(x_1,x_2\) là hai nghiệm của phương trình \(x^2-2\left(m-3\right)-6m-7=0\) với m là tham số. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: C=\(\left(x_1+x_2\right)^2+8x_1x_2\)
\(\Delta'=\left(m-3\right)^2-\left(-6m-7\right)=m^2+16>0\)
Vậy pt có 2 nghiệm pb
Theo Vi et \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m-3\right)\\x_1x_2=-6m-7\end{matrix}\right.\)
\(C=4\left(m-3\right)^2+8\left(-6m-7\right)\)
\(=4m^2-24m+36-48m-56=4m^2-72m-20\)
\(=4\left(m^2-18m+81-81\right)-20=4\left(m-9\right)^2-344\ge-344\)
Dấu ''='' xảy ra khi m = 9
Bài giải cho đề: "Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình x2−2(m−3)−6m−7=0 với m là tham số. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: C=(x1+x2)2+8x1x2.".
\(\Delta\)=32m+4>0 \(\Rightarrow\) m>-1/8.
C=8.(-8m-1)=-64m-8.
Vậy: không tồn tại giá trị nhỏ nhất của C.
Bài giải cho đề: "Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình x2−2(m−3)x−6m−7=0 với m là tham số. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: C=(x1+x2)2+8x1x2.".
\(\Delta\)'=m2+16>0, \(\forall m\).
C=[2(m-3)]2+8(-6m-7)=4m2-72m-20.
Suy ra, Cmin=-344 khi m=9.
Gọi \(x_{`1};x_2\)là 2 nghiệm của PT : \(2x^2-\left(3a-1\right)x-2=0\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\(P=\frac{3}{2}\left(x_1-x_2\right)^2+2\left(\frac{x_1-x_2}{2}+\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}\right)^2\)
Theo vi-et thì ta có:
\(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=\frac{3a-1}{2}\\x_1x_2=-1\end{cases}}\)
Từ đây ta có:
\(\left(x_1-x_2\right)^2=\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2=\left(\frac{3a-1}{2}\right)^2-4.1=\left(\frac{3a-1}{2}\right)^2-4\)
Theo đề bài thì
\(P=\frac{3}{2}.\left(x_1-x_2\right)^2+2\left(\frac{x_1-x_2}{2}+\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}\right)^2\)
\(=\frac{3}{2}.\left(x_1-x_2\right)^2+2.\left(x_1-x_2\right)^2\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{x_1x_2}\right)^2\)
\(=\left(x_1-x_2\right)^2\left(\frac{3}{2}+2.\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{x_1x_2}\right)^2\right)\)
\(=\left(\left(\frac{3a-1}{2}\right)^2-4\right)\left(\frac{3}{2}+2.\left(\frac{1}{2}+1\right)^2\right)\)
\(=6\left(\left(\frac{3a-1}{2}\right)^2-4\right)\ge6.4=24\)
Dấu = xảy ra khi \(a=\frac{1}{3}\)
Cho phương trình x2-mx-1=0
a) chứng minh phương trình có 2 nghiệm trái dấu
b)gọi x1,x2 là nghiệm của phương trình. Tính giá trị P= \(\dfrac{\left(x_1\right)^2+x_1-1}{x_1}-\dfrac{\left(x_2\right)^2+x_2-1}{x_2}\)
a)Có ac=-1<0
=>pt luôn có hai nghiệm trái dấu
b)Do x1;x2 là hai nghiệm của pt
=> \(\left\{{}\begin{matrix}x_1^2-mx_1-1=0\\x_2^2-mx_2-1=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1^2-1=mx_1\\x_2^2-1=mx_2\end{matrix}\right.\)
=>\(P=\dfrac{mx_1+x_1}{x_1}-\dfrac{mx_2+x_2}{x_2}\)\(=m+1-\left(m+1\right)=0\)
Cho phương trình : \(x^2-mx-4=0\)
Gọi x1,x2 là hai nghiệm phân biệt của phương trình. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A= \(\frac{2\left(x_1+x_2\right)+7}{x_1^2+x_2^2}\)
\(\Delta=b^2-4ac=m^2+16\)
=> Pt luôn có 2 nghiệm phân biệt
Theo Vi-ét : \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=-\frac{b}{a}=m\\x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}=-4\end{cases}}\)
Thay vào A ta được : \(A=\frac{2m+7}{m^2+8}\)
=> Min A = -1/8 khi m=-8
a) gọi \(x_1,x_2\) là nghiệm của phương trình: \(x^2-2\left(m+1\right)x+4m-m^2=0\).Tìm giá trị nhỏ nhất của P=\(\left|x_1-x_2\right|\)
Lời giải:
$\Delta'=(m+1)^2-(4m-m^2)=2m^2-2m+1=2(m-0,5)^2+0,5>0$ với mọi $m$ nên pt luôn có 2 nghiệm pb với mọi $m$
Áp dụng định lý Viet: \(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=2(m+1)\\ x_1x_2=4m-m^2\end{matrix}\right.\)
Khi đó:
\(P=|x_1-x_2|=\sqrt{(x_1-x_2)^2}=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}\)
\(=\sqrt{4(m+1)^2-4(4m-m^2)}=\sqrt{4(2m^2-2m+1)}\)
\(=2\sqrt{2(m-0,5)^2+0,5}\geq 2\sqrt{0,5}\)
Vậy $P_{\min}=2\sqrt{0,5}=\sqrt{2}$. Giá trị này đạt tại $m=0,5$
Theo Vi-et : \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m+2\\x_1.x_2=4m-m^2\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left(x_1-x_2\right)^2=\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1.x_2\)
\(\Leftrightarrow\left(x_1-x_2\right)^2=\left(2m+2\right)^2-4.\left(4m-m^2\right)=4m^2+8m+4-16m+4m^2\)
\(\Leftrightarrow\left(x_1-x_2\right)^2=8m^2-8m+4=8\left(m^2+m+\dfrac{1}{4}\right)+2=8\left(m+\dfrac{1}{2}\right)^2+2\ge2\)
\(\Leftrightarrow\left|x_1-x_2\right|\ge\sqrt{2}\)
b) Cho phương trình \(\left(m^2+1\right)x^2+2\left(m^2+1\right)x-m=0\left(1\right)\) gọi x1,x2
là nghiệm của phương trình (1). Tìm
giá trị lớn nhất biểu thức T= \(x_1^2+x_2^2\)
Lời giải:
$\Delta'=(m^2+1)^2+m(m^2+1)=(m^2+1)(m^2+m+1)>0$ với mọi $m$ nên pt luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi $m$
Áp dụng định lý Viet: \(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=-2\\ x_1x_2=\frac{-m}{m^2+1}\end{matrix}\right.\)
Khi đó:
\(T=x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=(-2)^2+\frac{2m}{m^2+1}=4+\frac{2m}{m^2+1}\)
\(=5+\frac{2m}{m^2+1}-1=5+\frac{2m-m^2-1}{m^2+1}=5-\frac{(m-1)^2}{m^2+1}\leq 5\)
Vậy $T_{\max}=5$ khi $m=1$